Про­ве­дем из вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка, про­ти­во­по­лож­ной ос­но­ва­нию b, вы­со­ту h. От­ме­тим, что дан­ная вы­со­та яв­ля­ет­ся и ме­ди­а­ной, и бис­сек­три­сой.

Най­дем синус по­ло­вин­но­го угла (угла между бо­ко­вой сто­ро­ной и вы­со­той тре­уголь­ни­ка): где Тогда:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­лу­про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, по­это­му най­дем бо­ко­вую сто­ро­ну a: Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна:

Ответ: 75.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Из фор­му­лы пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма найдём

Вос­поль­зу­ем­ся ос­нов­ным три­го­но­мет­ри­че­ским тож­де­ством и найдём за­ме­тив, что угол ABC тупой:

Те­перь найдём боль­шую диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ABC:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

1.  Угол пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка равен Тогда

Пер­вое утвер­жде­ние верно.

2.  Ко­ли­че­ство диа­го­на­лей вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка равно При n  =  8, по­лу­ча­ем, что диа­го­на­лей 20. Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но.

3.  Най­дем ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти по фор­му­ле

Тре­тье утвер­жде­ние верно. Для вы­чис­ле­ния была ис­поль­зо­ва­на фор­му­ла

4.  Пло­щадь пра­виль­но­го вось­ми­уголь­ни­ка со сто­ро­ной а равна 8 пло­ща­дям рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков с ос­но­ва­ни­ем a и вы­со­той, рав­ной ра­ди­у­су впи­сан­ной в мно­го­уголь­ник окруж­но­сти (см. п. 3). Имеем:

Чет­вер­тое утвер­жде­ние верно.

Ответ: 134.

Изоб­ра­зим дан­ную фи­гу­ру  — че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду с вер­ши­ной в точке S и с ос­но­ва­ни­ем ABCD. Из фор­му­лы пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма где a и b сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма, а   — угол между ними, сле­ду­ет, что угол а па­рал­ле­ло­грамм ABCD яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

За­ме­тим, что тре­уголь­ник SBC пря­мо­уголь­ный по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Чтобы найти ко­си­нус ли­ней­но­го угла дву­гран­но­го угла BSCD, вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов трех­гран­но­го угла. Возь­мем за угол BCD за плос­кий угол трех­гран­но­го угла. Тогда:

где   — ис­ко­мый ли­ней­ный угол.

Под­ста­вим зна­че­ния и най­дем ко­си­нус ли­ней­но­го угла:

Тогда зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния равно –3.

Ответ: –3.

Так как все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к плос­ко­сти ее ос­но­ва­ния под одним углом, вер­ши­на пи­ра­ми­ды про­еци­ру­ет­ся в центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб, ле­жа­щий в ос­но­ва­нии, цен­тром окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба. Най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб. Пусть ост­рый угол ромба равен β. От­ре­зок BM равен 2r, AB  =  8. Най­дем Имеем:

Тогда:

от­ку­да Тан­генс угла α равен от­но­ше­нию вы­со­ты пи­ра­ми­ды к ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в ромб. Имеем:

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ответ: 72.